Pré-algèbre Exemples

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ est indéfinie.

$y = \frac{3}{2}$

Étape 2

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ est une équation d’une droite, ce qui signifie qu’il n’y a aucune asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 3

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1^{2}}{2 y - 3}$

Étape 3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Étape 3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{2 y - 3}$

Étape 3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$

Étape 3.2

Développez ${(y - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(y - 1)}^{2}$ comme $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 1)}{2 y - 3}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Étape 3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{2 y - 3}$

Étape 3.2.11

Soustrayez $1 y$ de $- 1 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Étape 3.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 y$

$3$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Étape 3.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

					$\frac{y}{2}$
	$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Étape 3.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$\frac{3 y}{2}$

Étape 3.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} - \frac{3 y}{2}$

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$

Étape 3.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$

Étape 3.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Étape 3.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{y}{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Étape 3.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$\frac{3}{4}$

Étape 3.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$

Étape 3.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Étape 3.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{y}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 y - 3)}$

Étape 3.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 4

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $y = \frac{3}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5