Pré-algèbre Exemples

$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.2

Simplifiez

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Étape 1.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 4 - 5$

Étape 1.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) - 5$

Étape 1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 5$

Étape 1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 1 \cdot 2 - 5$

Étape 1.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 - 5$

Étape 1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 5$

Étape 1.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 5$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 2 \cdot 2}{2} - 5$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 4}{2} - 5$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4$ de $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9}{2} - 5$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5$

Étape 1.7

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.8

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Étape 1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 5 \cdot 2}{2}$

Étape 1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 10}{2}$

Étape 1.10.2

Soustrayez $10$ de $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 19}{2}$

Étape 1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = - \frac{19}{2}$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 \cdot 2$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Divisez $4$ par $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2$

Étape 2.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 19 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e = \frac{- 19 - 4}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $4$ de $- 19$ .

$e = \frac{- 23}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{23}{2}$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - \frac{23}{2}$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 2, - \frac{23}{2})$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, - 11)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 2$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - 12$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foyer : $(- 2, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - 2$

Directrice : $y = - 12$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foyer : $(- 2, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - 2$

Directrice : $y = - 12$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3) - \frac{19}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{{(- 3)}^{2} - 19}{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{9 - 19}{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $19$ de $9$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{- 10}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{- 10}{2}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $- 10$ par $2$ .

$f (- 3) = - 6 - 5$

Étape 3.2.3

Soustrayez $5$ de $- 6$ .

$f (- 3) = - 11$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $- 11$ .

$- 11$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $- 11$ .

$y = - 11$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4) - \frac{19}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Associez les fractions.

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Étape 3.5.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{{(- 4)}^{2} - 19}{2}$

Étape 3.5.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{16 - 19}{2}$

Étape 3.5.1.2.2

Soustrayez $19$ de $16$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - 8 - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.3

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.4

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 3.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 3}{2}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $3$ de $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 19}{2}$

Étape 3.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{19}{2}$

Étape 3.5.8

La réponse finale est $- \frac{19}{2}$ .

$- \frac{19}{2}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 4$ est $- \frac{19}{2}$ .

$y = - \frac{19}{2}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1) - \frac{19}{2}$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{{(- 1)}^{2} - 19}{2}$

Étape 3.8.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{1 - 19}{2}$

Étape 3.8.1.2.2

Soustrayez $19$ de $1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{- 18}{2}$

Étape 3.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{- 18}{2}$

Étape 3.8.2.2

Divisez $- 18$ par $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 9$

Étape 3.8.3

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 11$

Étape 3.8.4

La réponse finale est $- 11$ .

$- 11$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 11$ .

$y = - 11$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 2 (1) - \frac{19}{2}$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = 2 (1) + \frac{{(1)}^{2} - 19}{2}$

Étape 3.11.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 (1) + \frac{1 - 19}{2}$

Étape 3.11.1.2.2

Soustrayez $19$ de $1$ .

$f (1) = 2 (1) + \frac{- 18}{2}$

Étape 3.11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 2 + \frac{- 18}{2}$

Étape 3.11.2.2

Divisez $- 18$ par $2$ .

$f (1) = 2 - 9$

Étape 3.11.3

Soustrayez $9$ de $2$ .

$f (1) = - 7$

Étape 3.11.4

La réponse finale est $- 7$ .

$- 7$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 7$ .

$y = - 7$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foyer : $(- 2, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - 2$

Directrice : $y = - 12$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Étape 5