Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$ est indéfinie.

$x = 6$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$32 x$

$48$

Étape 6.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$

Étape 6.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 6.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 6.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 6.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 6.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 6.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 6.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 24 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 6.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$

Étape 6.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

Étape 6.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

Étape 6.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							+	$8 x$	-	$48$

Étape 6.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 48$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$

Étape 6.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$
										$0$

Étape 6.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 8$

Étape 6.17

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{2} - 4 x$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{2} - 4 x$

Étape 8