Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 3$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

Étape 8.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Étape 8.1.1.3

Simplifiez

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Étape 8.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Étape 8.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 8.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.14

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.16

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.17

Soustrayez $1 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.18

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.19

Soustrayez $1 x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.20

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.3

Développez $(x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.9

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Étape 8.3.10

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

Étape 8.3.11

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 9 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.9

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

Étape 8.10

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

Étape 8.11

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 10