Pré-algèbre Exemples

$(y + 6) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$y + 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Étape 1.1.3

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.1.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.1.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 1.1.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y + 6 = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 1.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Étape 1.1.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Étape 1.1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 1.1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 - 6$

Étape 1.2.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 4$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Divisez $4$ par $2$ .

$e = - 4 - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = - 4 - 2$

Étape 2.1.1.4.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$e = - 6$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 6$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 6$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 6)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - \frac{11}{2})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{13}{2}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 6)$

Foyer : $(2, - \frac{11}{2})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{13}{2}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 6)$

Foyer : $(2, - \frac{11}{2})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{13}{2}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Étape 3.2.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 - 4$

Étape 3.5.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.2.1

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - 4$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4$

Étape 3.5.2.4

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 8}{2}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Étape 3.5.5.2

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 11}{2}$

Étape 3.5.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{11}{2}$

Étape 3.5.6

La réponse finale est $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Étape 3.8.1.2

Divisez $16$ par $2$ .

$f (4) = 8 - 2 \cdot 4 - 4$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (4) = 8 - 8 - 4$

Étape 3.8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.8.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (4) = 0 - 4$

Étape 3.8.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (4) = - 4$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 6 - 4$

Étape 3.11.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.11.2.1

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} - 4$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Étape 3.11.2.3

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - 4$

Étape 3.11.2.4

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 3.11.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.11.2.6

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 8}{2}$

Étape 3.11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.5.1

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f (3) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Étape 3.11.5.2

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$f (3) = \frac{- 11}{2}$

Étape 3.11.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3) = - \frac{11}{2}$

Étape 3.11.6

La réponse finale est $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 6)$

Foyer : $(2, - \frac{11}{2})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Étape 5