Pré-algèbre Exemples

$8 z^{2} - 8 z = - 38$

Étape 1

Ajoutez $38$ aux deux côtés de l’équation.

$8 z^{2} - 8 z + 38 = 0$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $8 z^{2} - 8 z + 38$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 z^{2}$ .

$2 (4 z^{2}) - 8 z + 38 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 z$ .

$2 (4 z^{2}) + 2 (- 4 z) + 38 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $38$ .

$2 (4 z^{2}) + 2 (- 4 z) + 2 (19) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 z^{2}) + 2 (- 4 z)$ .

$2 (4 z^{2} - 4 z) + 2 (19) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 z^{2} - 4 z) + 2 (19)$ .

$2 (4 z^{2} - 4 z + 19) = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 (4 z^{2} - 4 z + 19) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 (4 z^{2} - 4 z + 19) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (4 z^{2} - 4 z + 19)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 z^{2} - 4 z + 19)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $4 z^{2} - 4 z + 19$ par $1$ .

$4 z^{2} - 4 z + 19 = \frac{0}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$4 z^{2} - 4 z + 19 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 4$ et $c = 19$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 19)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 19$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $19$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 304}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $304$ de $16$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 288$ comme $- 1 (288)$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (288)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{4 \pm i \cdot (12 \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 19$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $19$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 304}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $304$ de $16$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 288$ comme $- 1 (288)$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (288)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{4 \pm i \cdot (12 \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$z = \frac{1 + 3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 19$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $19$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 304}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $304$ de $16$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $- 288$ comme $- 1 (288)$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 288}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (288)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{288}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.7

Réécrivez $288$ comme $12^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $288$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{4 \pm i \cdot (12 \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 8.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$z = \frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 12 i \sqrt{2}}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$z = \frac{1 - 3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{1 + 3 i \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 3 i \sqrt{2}}{2}$