Pré-algèbre Exemples

$9 y^{2} - 12 y + 13 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 12$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 13)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $468$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- 324$ comme $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (324)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Étape 3.1.9

Déplacez $18$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $468$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 324$ comme $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (324)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.9

Déplacez $18$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{2 + 3 i}{3}$

Étape 4.5

Divisez la fraction $\frac{2 + 3 i}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Étape 4.6.2

Divisez $i$ par $1$ .

$y = \frac{2}{3} + i$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $468$ de $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 324$ comme $- 1 (324)$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (324)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.9

Déplacez $18$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{2 - 3 i}{3}$

Étape 5.5

Divisez la fraction $\frac{2 - 3 i}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- 3 i}{3}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 i$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 (1)}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- i}{1}$

Étape 5.6.2.4

Divisez $- i$ par $1$ .

$y = \frac{2}{3} - i$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2}{3} + i, \frac{2}{3} - i$