Pré-algèbre Exemples

$y = - 4 x^{2} - 64 x + 1$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- 4 x^{2} - 64 x + 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 64$

$c = 1$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 4)}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 32}{- 4}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $- 4$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{- 4 (8)}{- 4}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$d = 8$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 64$ à la puissance $2$ .

$e = 1 - \frac{4096}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 1 - \frac{4096}{- 16}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $4096$ par $- 16$ .

$e = 1 - - 256$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 256$ .

$e = 1 + 256$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $256$ .

$e = 257$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$ .

$- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 4$

$h = - 8$

$k = 257$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 8, 257)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{16}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 8, \frac{4111}{16})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 8$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{4113}{16}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 8, 257)$

Foyer : $(- 8, \frac{4111}{16})$

Axe de symétrie : $x = - 8$

Directrice : $y = \frac{4113}{16}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 8, 257)$

Foyer : $(- 8, \frac{4111}{16})$

Axe de symétrie : $x = - 8$

Directrice : $y = \frac{4113}{16}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = - 4 {(- 9)}^{2} - 64 \cdot - 9 + 1$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$f (- 9) = - 4 \cdot 81 - 64 \cdot - 9 + 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$f (- 9) = - 324 - 64 \cdot - 9 + 1$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 9$ .

$f (- 9) = - 324 + 576 + 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 324$ et $576$ .

$f (- 9) = 252 + 1$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $252$ et $1$ .

$f (- 9) = 253$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $253$ .

$253$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 9$ est $253$ .

$y = 253$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f (- 10) = - 4 {(- 10)}^{2} - 64 \cdot - 10 + 1$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$f (- 10) = - 4 \cdot 100 - 64 \cdot - 10 + 1$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $100$ .

$f (- 10) = - 400 - 64 \cdot - 10 + 1$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 640 + 1$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 400$ et $640$ .

$f (- 10) = 240 + 1$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $240$ et $1$ .

$f (- 10) = 241$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $241$ .

$241$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 10$ est $241$ .

$y = 241$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = - 4 {(- 7)}^{2} - 64 \cdot - 7 + 1$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f (- 7) = - 4 \cdot 49 - 64 \cdot - 7 + 1$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$f (- 7) = - 196 - 64 \cdot - 7 + 1$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 7$ .

$f (- 7) = - 196 + 448 + 1$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 196$ et $448$ .

$f (- 7) = 252 + 1$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $252$ et $1$ .

$f (- 7) = 253$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $253$ .

$253$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = - 7$ est $253$ .

$y = 253$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = - 4 {(- 6)}^{2} - 64 \cdot - 6 + 1$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f (- 6) = - 4 \cdot 36 - 64 \cdot - 6 + 1$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$f (- 6) = - 144 - 64 \cdot - 6 + 1$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 6$ .

$f (- 6) = - 144 + 384 + 1$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 144$ et $384$ .

$f (- 6) = 240 + 1$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $240$ et $1$ .

$f (- 6) = 241$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $241$ .

$241$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = - 6$ est $241$ .

$y = 241$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 8, 257)$

Foyer : $(- 8, \frac{4111}{16})$

Axe de symétrie : $x = - 8$

Directrice : $y = \frac{4113}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Étape 4