Pré-algèbre Exemples

$5 x^{2} - \sqrt{3} x - 2 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = - \sqrt{3}$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 2)}}{2 \cdot 5}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.1.6

Additionnez $3$ et $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.6

Additionnez $3$ et $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Étape 4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.6

Additionnez $3$ et $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Forme décimale :

$x = 0.82894893 \dots, - 0.48253877 \dots$