Pré-algèbre Exemples

$- 4 x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = - 4$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Étape 4.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - \frac{1 + 2 i}{2}$

Étape 4.6

Divisez la fraction $\frac{1 + 2 i}{2}$ en deux fractions.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 i}{2})$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 i}{2})$

Étape 4.7.2

Divisez $i$ par $1$ .

$x = - (\frac{1}{2} + i)$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{2} - i$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Étape 5.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - \frac{1 - 2 i}{2}$

Étape 5.6

Divisez la fraction $\frac{1 - 2 i}{2}$ en deux fractions.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 i}{2})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2})$

Étape 5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2 (1)})$

Étape 5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2 \cdot 1})$

Étape 5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{- i}{1})$

Étape 5.7.2.4

Divisez $- i$ par $1$ .

$x = - (\frac{1}{2} - i)$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{2} + i$

Étape 5.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - \frac{1}{2} + 1 i$

Étape 5.10

Multipliez $i$ par $1$ .

$x = - \frac{1}{2} + i$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1}{2} - i, - \frac{1}{2} + i$