Pré-algèbre Exemples

$4 x^{2} - 48 x = - 164$

Étape 1

Ajoutez $164$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 48 x + 164 = 0$

Étape 2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 48 x + 164$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 48 x + 164 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 48 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 12 x) + 164 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $4$ à partir de $164$ .

$4 x^{2} + 4 (- 12 x) + 4 \cdot 41 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 12 x)$ .

$4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot 41 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot 41$ .

$4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 12 x + 41)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{2} - 12 x + 41)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 12 x + 41$ par $1$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = \frac{0}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 12$ et $c = 41$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $164$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $164$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 6 + i \sqrt{5}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $164$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 6 - i \sqrt{5}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 6 + i \sqrt{5}, 6 - i \sqrt{5}$