Pré-algèbre Exemples

$6 x^{\frac{2}{3}} - 41 x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$6 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 41 x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

$6 u^{2} - 41 u - 7 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 7 = - 42$ et dont la somme est $b = - 41$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 41$ à partir de $- 41 u$ .

$6 u^{2} - 41 u - 7 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $- 41$ comme $1$ plus $- 42$

$6 u^{2} + (1 - 42) u - 7 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 u^{2} + 1 u - 42 u - 7 = 0$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$6 u^{2} + u - 42 u - 7 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 u^{2} + u) - 42 u - 7 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (6 u + 1) - 7 (6 u + 1) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (u - 7) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 7) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Étape 3

Définissez $6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ .

$6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$6^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.1.1.4

Simplifiez

$216 x = {(- 1)}^{3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$216 x = - 1$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $216 x = - 1$ par $216$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $216 x = - 1$ par $216$ .

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $216$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{216}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{216}$

Étape 4

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 7$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 7$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 7^{3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 7^{3}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 7^{3}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$x = 343$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(6 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 7) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{216}, 343$