Pré-algèbre Exemples

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $2^{X + 3}$ comme $2^{X} \cdot 2^{3}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $4^{X + 1}$ comme $4^{X} \cdot 4^{1}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $2^{X}$ comme ${(2^{2})}^{X}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Étape 1.4

Réécrivez ${(2^{2})}^{X}$ comme ${(2^{X})}^{2}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Étape 1.5

Laissez $u = 2^{X}$ . Remplacez toutes les occurrences de $2^{X}$ par $u$ .

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Étape 1.5.2

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Étape 1.5.3

Déplacez $4$ à gauche de $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Étape 1.6

Factorisez $4$ à partir de $8 u + 4 u^{2} - 320$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 u$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Étape 1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{2}$ .

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Étape 1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $- 320$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Étape 1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 u) + 4 u^{2}$ .

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Étape 1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Étape 1.7

Factorisez.

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Étape 1.7.1

Factorisez $2 u + u^{2} - 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 80$ et dont la somme est $2$ .

$- 8, 10$

Étape 1.7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Étape 1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Étape 1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Étape 3

Définissez $2^{X} - 8$ égal à $0$ et résolvez $X$ .

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Étape 3.1

Définissez $2^{X} - 8$ égal à $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2^{X} - 8 = 0$ pour $X$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{X} = 8$

Étape 3.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{X} = 2^{3}$

Étape 3.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$X = 3$

Étape 4

Définissez $2^{X} + 10$ égal à $0$ et résolvez $X$ .

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Étape 4.1

Définissez $2^{X} + 10$ égal à $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2^{X} + 10 = 0$ pour $X$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$2^{X} = - 10$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 10)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{X} = - 10$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ vraie.

$X = 3$