Pré-algèbre Exemples

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Étape 1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x - 5$ est $x - 5$ lui-même.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{2} + 5 x + 25$ est $x^{2} + 5 x + 25$ lui-même.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x - 5$ est $x - 5$ lui-même.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x^{2} + 5 x + 25$ est $x^{2} + 5 x + 25$ lui-même.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ par $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ par $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $25$ par $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 5 x + 25$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ dans le numérateur.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.5.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 25$ à partir de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $- 300$ par $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.2.2

Soustrayez $300 x$ de $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $2250$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2250$ de $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{3}$ .

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $30 x^{2}$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 150 x$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Étape 4.3.1.4

Factorisez $6$ à partir de $- 750$ .

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Étape 4.3.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Étape 4.3.1.6

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Étape 4.3.1.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Étape 4.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Étape 4.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Étape 4.3.5

Factorisez.

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Étape 4.3.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Étape 4.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 4.3.6

Factorisez.

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Étape 4.3.6.1

Associez les exposants.

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Étape 4.3.6.1.1

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 4.3.6.1.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 4.3.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Étape 4.3.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Étape 4.3.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 4.5

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez ${(x + 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ vrai.

$x = - 5$