Pré-algèbre Exemples

$\frac{4 t^{2}}{5} = \frac{3 t}{5} + \frac{27}{10}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{4 t^{2}}{5} \cdot 5 = (\frac{3 t}{5} + \frac{27}{10}) \cdot 5$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t^{2}}{5} \cdot 5 = (\frac{3 t}{5} + \frac{27}{10}) \cdot 5$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 t^{2} = (\frac{3 t}{5} + \frac{27}{10}) \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\frac{3 t}{5} + \frac{27}{10}) \cdot 5$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 t^{2} = \frac{3 t}{5} \cdot 5 + \frac{27}{10} \cdot 5$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 t^{2} = \frac{3 t}{5} \cdot 5 + \frac{27}{10} \cdot 5$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 t^{2} = 3 t + \frac{27}{10} \cdot 5$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$4 t^{2} = 3 t + \frac{27}{5 (2)} \cdot 5$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 t^{2} = 3 t + \frac{27}{5 \cdot 2} \cdot 5$

Étape 2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 t^{2} = 3 t + \frac{27}{2}$

Étape 3

Résolvez $t$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3 t$ des deux côtés de l’équation.

$4 t^{2} - 3 t = \frac{27}{2}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{27}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 t^{2} - 3 t - \frac{27}{2} = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 t^{2}) + 2 (- 3 t) + 2 (- \frac{27}{2}) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 t^{2} + 2 (- 3 t) + 2 (- \frac{27}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$8 t^{2} - 6 t + 2 (- \frac{27}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{2}$ dans le numérateur.

$8 t^{2} - 6 t + 2 (\frac{- 27}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$8 t^{2} - 6 t + 2 (\frac{- 27}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$8 t^{2} - 6 t - 27 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = - 6$ et $c = - 27$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 27)}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 8 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 27$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 27$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 864}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $36$ et $864$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $900$ comme $30^{2}$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{30^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \frac{6 \pm 30}{2 \cdot 8}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm 30}{16}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 30}{16}$ .

$t = \frac{3 \pm 15}{8}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 8 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 27$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 27$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 864}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.1.3

Additionnez $36$ et $864$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $900$ comme $30^{2}$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{30^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \frac{6 \pm 30}{2 \cdot 8}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm 30}{16}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 30}{16}$ .

$t = \frac{3 \pm 15}{8}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = \frac{3 + 15}{8}$

Étape 3.7.5

Additionnez $3$ et $15$ .

$t = \frac{18}{8}$

Étape 3.7.6

Annulez le facteur commun à $18$ et $8$ .

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Étape 3.7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$t = \frac{2 (9)}{8}$

Étape 3.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$t = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{9}{4}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 8 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 27$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32 \cdot - 27}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 27$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 864}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.1.3

Additionnez $36$ et $864$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $900$ comme $30^{2}$ .

$t = \frac{6 \pm \sqrt{30^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \frac{6 \pm 30}{2 \cdot 8}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$t = \frac{6 \pm 30}{16}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 30}{16}$ .

$t = \frac{3 \pm 15}{8}$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = \frac{3 - 15}{8}$

Étape 3.8.5

Soustrayez $15$ de $3$ .

$t = \frac{- 12}{8}$

Étape 3.8.6

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $8$ .

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Étape 3.8.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$t = \frac{4 (- 3)}{8}$

Étape 3.8.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$t = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 3.8.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 3.8.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{3}{2}$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{9}{4}, - \frac{3}{2}$