Pré-algèbre Exemples

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} = 10$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez $x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$x^{2} + (x - 5) (x - 5) - 10 = 0$

Étape 1.2.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x (x - 5) - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Étape 1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Étape 1.2.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Étape 1.2.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 x - 5 x + 25 - 10 = 0$

Étape 1.2.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} + x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Étape 1.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $10$ de $25$ .

$2 x^{2} - 10 x + 15 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 10$ et $c = 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 15)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$