Pré-algèbre Exemples

$\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}} = 39$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}}^{3} = 39^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}$ comme ${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 39^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(27 x \sqrt{x})}^{1} = 39^{3}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$27 x \sqrt{x} = 39^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $39$ à la puissance $3$ .

$27 x \sqrt{x} = 59319$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(27 x \sqrt{x})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(27 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(27 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(27 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(27 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $27 x^{\frac{3}{2}}$ .

$27^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$729 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Étape 4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$729 x^{3} = 59319^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Élevez $59319$ à la puissance $2$ .

$729 x^{3} = 3518743761$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3518743761$ des deux côtés de l’équation.

$729 x^{3} - 3518743761 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $729$ à partir de $729 x^{3} - 3518743761$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $729$ à partir de $729 x^{3}$ .

$729 (x^{3}) - 3518743761 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $729$ à partir de $- 3518743761$ .

$729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $729$ à partir de $729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809$ .

$729 (x^{3} - 4826809) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $4826809$ comme $169^{3}$ .

$729 (x^{3} - 169^{3}) = 0$

Étape 5.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 169$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + x \cdot 169 + 169^{2})) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1.1

Déplacez $169$ à gauche de $x$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 169^{2})) = 0$

Étape 5.2.4.1.2

Élevez $169$ à la puissance $2$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561)) = 0$

Étape 5.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 169 = 0$

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 169$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 169$ égal à $0$ .

$x - 169 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $169$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 169$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} + 169 x + 28561$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} + 169 x + 28561$ égal à $0$ .

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} + 169 x + 28561 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 169$ et $c = 28561$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 169 \pm \sqrt{169^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28561)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $169$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Soustrayez $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 85683$ comme $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (85683)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.7

Réécrivez $85683$ comme $169^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.3.1.7.1

Factorisez $28561$ à partir de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $28561$ comme $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.1.9

Déplacez $169$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $169$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Soustrayez $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 85683$ comme $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (85683)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.7

Réécrivez $85683$ comme $169^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.4.1.7.1

Factorisez $28561$ à partir de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $28561$ comme $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.1.9

Déplacez $169$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4.4

Réécrivez $- 169$ comme $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (- 169 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (169) - (- 169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 - 169 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $169$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Soustrayez $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 85683$ comme $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (85683)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.7

Réécrivez $85683$ comme $169^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.2.5.1.7.1

Factorisez $28561$ à partir de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.7.2

Réécrivez $28561$ comme $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.1.9

Déplacez $169$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5.4

Réécrivez $- 169$ comme $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (169 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (169) - (169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 + 169 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$ vraie.

$x = 169, - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$