Pré-algèbre Exemples

$f (x) = - 2 {(x - 5)}^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = 5$

$k = 4$

Étape 1.2

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(5, 4)$

Étape 1.4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.5

Déterminez le foyer.

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Étape 1.5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, \frac{31}{8})$

Étape 1.6

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 5$

Étape 1.7

Déterminez la directrice.

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Étape 1.7.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{33}{8}$

Étape 1.8

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 4)$

Foyer : $(5, \frac{31}{8})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{33}{8}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 4)$

Foyer : $(5, \frac{31}{8})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{33}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - 2 {(4)}^{2} + 20 (4) - 46$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = - 2 \cdot 16 + 20 (4) - 46$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f (4) = - 32 + 20 (4) - 46$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $20$ par $4$ .

$f (4) = - 32 + 80 - 46$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $80$ .

$f (4) = 48 - 46$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $46$ de $48$ .

$f (4) = 2$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 20 (3) - 46$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 20 (3) - 46$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$f (3) = - 18 + 20 (3) - 46$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $20$ par $3$ .

$f (3) = - 18 + 60 - 46$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 18$ et $60$ .

$f (3) = 42 - 46$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $46$ de $42$ .

$f (3) = - 4$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 20 (6) - 46$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 20 (6) - 46$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$f (6) = - 72 + 20 (6) - 46$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $20$ par $6$ .

$f (6) = - 72 + 120 - 46$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 72$ et $120$ .

$f (6) = 48 - 46$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $46$ de $48$ .

$f (6) = 2$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = - 2 {(7)}^{2} + 20 (7) - 46$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = - 2 \cdot 49 + 20 (7) - 46$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $49$ .

$f (7) = - 98 + 20 (7) - 46$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $20$ par $7$ .

$f (7) = - 98 + 140 - 46$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 98$ et $140$ .

$f (7) = 42 - 46$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $46$ de $42$ .

$f (7) = - 4$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 7$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 4 \\ 4 & 2 \\ 5 & 4 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 4 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 4)$

Foyer : $(5, \frac{31}{8})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 4 \\ 4 & 2 \\ 5 & 4 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 4 \end{array}$

Étape 4