Pré-algèbre Exemples

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 1.3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.3.2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.2.1.2.3.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.3.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.3.2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 1.3.2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.4.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.5

Soustrayez $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Étape 1.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.3.2.5

Combinez les facteurs.

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Étape 1.3.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Étape 1.3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Étape 1.3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Étape 1.3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Étape 1.3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Étape 1.3.3

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 1.3.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 1.3.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 0$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Étape 2.2.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Étape 2.2.2.3

Divisez $2$ par $1$ .

$f (1) = 2$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.3

Convertissez $2$ en décimale.

$y = 2$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ en décimale.

$y = 0.1534264$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ en décimale.

$y = - 0.02191384$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Étape 6