Pré-algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Associez ${(x + 1)}^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 1.5.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - \frac{7}{2})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 1$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, - 3)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{2})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{5}{2}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, - 3)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{2})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{5}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

Étape 2.2.3

Soustrayez $7$ de $- 9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

Étape 2.2.4.2

Divisez $- 16$ par $2$ .

$f (- 3) = 3 - 8$

Étape 2.2.5

Soustrayez $8$ de $3$ .

$f (- 3) = - 5$

Étape 2.2.6

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $- 5$ .

$y = - 5$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

Étape 2.5.3

Soustrayez $7$ de $- 4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

Étape 2.5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

Étape 2.5.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

Étape 2.5.6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

Étape 2.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

Étape 2.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

Étape 2.5.8.2

Soustrayez $11$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Étape 2.5.10

La réponse finale est $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

Étape 2.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

Étape 2.8.3

Soustrayez $7$ de $- 1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

Étape 2.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

Étape 2.8.4.2

Divisez $- 8$ par $2$ .

$f (1) = - 1 - 4$

Étape 2.8.5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$f (1) = - 5$

Étape 2.8.6

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 5$ .

$y = - 5$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

Étape 2.11.3

Soustrayez $7$ de $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.4.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.11.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

Étape 2.11.5

Soustrayez $\frac{7}{2}$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{7}{2}$

Étape 2.11.6

La réponse finale est $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, - 3)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{2})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Étape 4