Pré-algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $- \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 9}{2} + \frac{1}{3} + 6$

Étape 1.1.1.1.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6$

Étape 1.1.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.1.1.3

Associez $6$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 6 \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 18}{3}$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $1$ et $18$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 1.1.2

Complétez le carré pour $- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{9}{2}$

$b = 0$

$c = \frac{19}{3}$

Étape 1.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{- \frac{9}{2}}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 (- \frac{2}{9})$

Étape 1.1.2.3.2.3

Multipliez $0 (- \frac{2}{9})$ .

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Étape 1.1.2.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0 (\frac{2}{9})$

Étape 1.1.2.3.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{9}$ .

$d = 0$

Étape 1.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{9}{2})}$

Étape 1.1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{9}{2}$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 9}{2}}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 36}{2}}$

Étape 1.1.2.4.2.1.4

Divisez $- 36$ par $2$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 18}$

Étape 1.1.2.4.2.1.5

Divisez $0$ par $- 18$ .

$e = \frac{19}{3} - 0$

Étape 1.1.2.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = \frac{19}{3} + 0$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $\frac{19}{3}$ et $0$ .

$e = \frac{19}{3}$

Étape 1.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$ .

$- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

Étape 1.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{9}{2} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{9}{2}$

$h = 0$

$k = \frac{19}{3}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, \frac{19}{3})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{9}{2})}$

Étape 1.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{2}}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$- \frac{1}{\frac{36}{2}}$

Étape 1.5.3.3.2

Divisez $36$ par $2$ .

$- \frac{1}{18}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, \frac{113}{18})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 0$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{115}{18}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{19}{3})$

Foyer : $(0, \frac{113}{18})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{115}{18}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{19}{3})$

Foyer : $(0, \frac{113}{18})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{115}{18}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.2.2

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.2.3

Pour écrire $\frac{19}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $\frac{19}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 2.2.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $19$ par $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

Étape 2.2.6.3

Additionnez $- 27$ et $38$ .

$f (- 1) = \frac{11}{6}$

Étape 2.2.7

La réponse finale est $\frac{11}{6}$ .

$\frac{11}{6}$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $\frac{11}{6}$ .

$y = \frac{11}{6}$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{9 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - \frac{9 (1 \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.4

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $9 \cdot 2^{2}$ .

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.1.6.4

Divisez $9 \cdot 2$ par $1$ .

$f (- 2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- (9 \cdot 2)$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$f (- 2) = - 18 + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.2

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.3

Associez $- 18$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

Étape 2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

Étape 2.5.5.2

Additionnez $- 54$ et $19$ .

$f (- 2) = \frac{- 35}{3}$

Étape 2.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{35}{3}$

Étape 2.5.7

La réponse finale est $- \frac{35}{3}$ .

$- \frac{35}{3}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- \frac{35}{3}$ .

$y = - \frac{35}{3}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{9 {(1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.8.2

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.8.3

Pour écrire $\frac{19}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.4.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.8.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.8.4.3

Multipliez $\frac{19}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 2.8.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.8.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.6.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f (1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

Étape 2.8.6.2

Multipliez $19$ par $2$ .

$f (1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

Étape 2.8.6.3

Additionnez $- 27$ et $38$ .

$f (1) = \frac{11}{6}$

Étape 2.8.7

La réponse finale est $\frac{11}{6}$ .

$\frac{11}{6}$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $\frac{11}{6}$ .

$y = \frac{11}{6}$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \frac{9 {(2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Annulez le facteur commun à ${(2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 2.11.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $9 {(2)}^{2}$ .

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.1.2.4

Divisez $9 \cdot 2$ par $1$ .

$f (2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- (9 \cdot 2)$ .

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Étape 2.11.1.2.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$f (2) = - 18 + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.2

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.3

Associez $- 18$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 2.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

Étape 2.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.5.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f (2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

Étape 2.11.5.2

Additionnez $- 54$ et $19$ .

$f (2) = \frac{- 35}{3}$

Étape 2.11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{35}{3}$

Étape 2.11.7

La réponse finale est $- \frac{35}{3}$ .

$- \frac{35}{3}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- \frac{35}{3}$ .

$y = - \frac{35}{3}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{19}{3})$

Foyer : $(0, \frac{113}{18})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{115}{18}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

Étape 4