Pré-algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$ est indéfinie.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x - 4$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) - 4}$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$

Étape 5.2

Développez $2 (3 x - 2)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 5.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$6 x$

$4$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$2 x^{2}$	-	$\frac{4 x}{3}$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - \frac{4 x}{3}$

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{4 x}{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					+	$\frac{4 x}{3}$	-	$\frac{8}{9}$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{4 x}{3} - \frac{8}{9}$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$
							+	$\frac{53}{9}$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{9} + \frac{53}{9 (6 x - 4)}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \frac{2}{3}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Étape 7