Pré-algèbre Exemples

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y + 9 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 18 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $324$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 18 x$ par $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ dans l’équation $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 5 y^{2} + 30 y = - 9$

Étape 1.4

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 y^{2} + 30 y = - 9 + 9$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $5 y^{2} + 30 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 5$

$b = 30$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{30}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (5)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{15}{5}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $5$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$e = 0 - \frac{900}{20}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $900$ par $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 45$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$e = 0 - 45$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $45$ de $0$ .

$e = - 45$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ .

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$

Étape 1.6

Remplacez $5 y^{2} + 30 y$ par $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ dans l’équation $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} - 45 = - 9 + 9$

Étape 1.7

Déplacez $- 45$ du côté droit de l’équation en ajoutant $45$ des deux côtés.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = - 9 + 9 + 45$

Étape 1.8

Simplifiez $- 9 + 9 + 45$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 0 + 45$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $45$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 45$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $45$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{5 {(y + 3)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{5} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, - 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{9 - 5^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\sqrt{9 - 5}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$\sqrt{4}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 3 + 3)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(1, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 3 - (3))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(1, - 6)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 3 + 2)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(1, - 1)$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 3 - (2))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(1, - 5)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {\sqrt{5}}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{1}}}{3}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5}}{3}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $5$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{4}}{3}$

Étape 8.3.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3}$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Excentricité : $\frac{2}{3}$

Étape 10