Pré-algèbre Exemples

Tracer 9x^2+5y^2-18x+30y+9=0
Étape 1
Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2
Complétez le carré pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Utilisez la forme pour déterminer les valeurs de , et .
Étape 1.2.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
Étape 1.2.3
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Remplacez les valeurs de et dans la formule .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.2.2.4
Divisez par .
Étape 1.2.4
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Remplacez les valeurs de , et dans la formule .
Étape 1.2.4.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.1.3
Divisez par .
Étape 1.2.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.5
Remplacez les valeurs de , et dans la forme du sommet .
Étape 1.3
Remplacez par dans l’équation .
Étape 1.4
Déplacez du côté droit de l’équation en ajoutant des deux côtés.
Étape 1.5
Complétez le carré pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Utilisez la forme pour déterminer les valeurs de , et .
Étape 1.5.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
Étape 1.5.3
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.1
Remplacez les valeurs de et dans la formule .
Étape 1.5.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.3.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.5.3.2.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.3.2.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.3.2.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.3.2.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.5.3.2.2.2.4
Divisez par .
Étape 1.5.4
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.1
Remplacez les valeurs de , et dans la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.3
Divisez par .
Étape 1.5.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5
Remplacez les valeurs de , et dans la forme du sommet .
Étape 1.6
Remplacez par dans l’équation .
Étape 1.7
Déplacez du côté droit de l’équation en ajoutant des deux côtés.
Étape 1.8
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.1
Additionnez et .
Étape 1.8.2
Additionnez et .
Étape 1.9
Divisez chaque terme par pour rendre le côté droit égal à un.
Étape 1.10
Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit .
Étape 2
C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.
Étape 3
Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable représente le rayon du grand axe de l’ellipse, représente le rayon du petit axe de l’ellipse, représente le décalage x par rapport à l’origine et représente le décalage y par rapport à l’origine.
Étape 4
Le centre d’une ellipse suit la forme de . Remplacez les valeurs de et .
Étape 5
Déterminez , la distance du centre à un foyer.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.
Étape 5.2
Remplacez les valeurs de et dans la formule.
Étape 5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.2
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.3.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.3.2.3
Associez et .
Étape 5.3.2.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.2.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.3.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 5.3.3.3
Réécrivez comme .
Étape 5.3.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6
Déterminez les sommets.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant à .
Étape 6.2
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule.
Étape 6.3
Simplifiez
Étape 6.4
The second vertex of an ellipse can be found by subtracting from .
Étape 6.5
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule.
Étape 6.6
Simplifiez
Étape 6.7
Les ellipses ont deux sommets.
:
:
:
:
Étape 7
Déterminez les foyers.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant à .
Étape 7.2
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule.
Étape 7.3
Simplifiez
Étape 7.4
Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant à .
Étape 7.5
Remplacez les valeurs connues de , et dans la formule.
Étape 7.6
Simplifiez
Étape 7.7
Les ellipses ont deux foyers.
:
:
:
:
Étape 8
Déterminez l’excentricité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.
Étape 8.2
Remplacez les valeurs de et dans la formule.
Étape 8.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.2
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 8.3.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.3.2.3
Associez et .
Étape 8.3.2.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.2.5
Évaluez l’exposant.
Étape 8.3.3
Multipliez par .
Étape 8.3.4
Soustrayez de .
Étape 8.3.5
Réécrivez comme .
Étape 8.3.6
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 9
Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.
Centre :
:
:
:
:
Excentricité :
Étape 10