Pré-algèbre Exemples

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y - 59 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $59$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 54 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 54 x$ par $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} - 8 y = 59$

Étape 1.4

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 59 + 81$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $4 y^{2} - 8 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Étape 1.6

Remplacez $4 y^{2} - 8 y$ par $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 59 + 81$

Étape 1.7

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 59 + 81 + 4$

Étape 1.8

Simplifiez $59 + 81 + 4$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $59$ et $81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 140 + 4$

Étape 1.8.2

Additionnez $140$ et $4$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 144$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{36} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 4$

$k = 1$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 16}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\sqrt{36 - 16}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $16$ de $36$ .

$\sqrt{20}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(3, 1 + 6)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(3, 7)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(3, 1 - (6))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(3, - 5)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(3, 1 - (2 \sqrt{5}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Soustrayez $16$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Étape 8.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(3, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 10