Pré-algèbre Exemples

$9 x^{2} + y^{2} - 36 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + y^{2} = 36$

Étape 1.2

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $4$ de $36$ .

$\sqrt{32}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 6)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 6)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (6))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 6)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 4 \sqrt{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, 4 \sqrt{2})$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (4 \sqrt{2}))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - 4 \sqrt{2})$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 2^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 4}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Soustrayez $4$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{32}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{6}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 8.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (3)}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

Excentricité : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10