Pré-algèbre Exemples

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Étape 1

Simplifiez $- 9 z (z - 4)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 - 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 z \cdot z - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Étape 1.4

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $z$ .

$- 9 (z \cdot z) - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Étape 1.4.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$- 9 z^{2} - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Étape 1.5

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$- 9 z^{2} + 36 z > 4 z - 3$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1

Soustrayez $4 z$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 9 z^{2} + 36 z - 4 z > - 3$

Étape 2.2

Soustrayez $4 z$ de $36 z$ .

$- 9 z^{2} + 32 z > - 3$

Étape 3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 > 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 9$ , $b = 32$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 3)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $36$ par $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.3

Additionnez $1024$ et $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $1132$ comme $2^{2} \cdot 283$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $36$ par $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.3

Additionnez $1024$ et $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $1132$ comme $2^{2} \cdot 283$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $36$ par $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.3

Additionnez $1024$ et $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $1132$ comme $2^{2} \cdot 283$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Étape 9.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Étape 9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$z = \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}, \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = - 3$

Étape 12.1.2

Remplacez $z$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 9 \cdot - 3 ((- 3) - 4) > 4 (- 3) - 3$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 189$ n’est pas supérieur au côté droit $- 15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $z$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 9 \cdot 0 ((0) - 4) > 4 (0) - 3$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 6$

Étape 12.3.2

Remplacez $z$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$- 9 \cdot 6 ((6) - 4) > 4 (6) - 3$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 108$ n’est pas supérieur au côté droit $21$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Faux

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Vrai

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Faux

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Faux

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Vrai

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Étape 14