Pré-algèbre Exemples

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ est $(2, 0)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\frac{x - 2}{x + 2}$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Étape 1.4

Simplifiez $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $(2) - 2$ et $(2) + 2$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Étape 1.4.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Étape 1.4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Étape 1.4.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Étape 1.4.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Étape 1.4.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Étape 1.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = | \frac{0}{2} |$

Étape 1.4.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$y = | 0 |$

Étape 1.4.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 1.5

Le sommet de la valeur absolue est $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Étape 3

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . Dans ce cas, le point est $(0, 1)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun à $(0) - 2$ et $(0) + 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Étape 3.1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Étape 3.1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Étape 3.1.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Étape 3.1.2.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Étape 3.1.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Étape 3.1.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun à $0 - 1$ et $0 + 1$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Étape 3.1.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Étape 3.1.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Étape 3.1.2.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = | - 1 |$

Étape 3.1.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . Dans ce cas, le point est $(1, \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Étape 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ est d’environ $- 0.\overline{3}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{3}$ et retirez la valeur absolue

$f (1) = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . Dans ce cas, le point est $(3, \frac{1}{5})$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Étape 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ est d’environ $0.2$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$f (3) = \frac{1}{5}$

Étape 3.3.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $4$ dans $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . Dans ce cas, le point est $(4, \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun à $(4) - 2$ et $(4) + 2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Étape 3.4.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Étape 3.4.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Étape 3.4.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Étape 3.4.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Étape 3.4.2.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (1)$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Étape 3.4.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Étape 3.4.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Étape 3.4.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Étape 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$f (4) = \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 3.5

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Étape 4