Pré-algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x - 1 | = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Étape 1.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Étape 2

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 2.1

Remplacez la valeur $x$ $- 2$ dans $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(- 2, 1)$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Étape 2.1.2.1.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Étape 2.1.2.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Étape 2.1.2.3.2

Divisez $3$ par $3$ .

$f (- 2) = 1$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 0)$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Étape 2.2.2.1.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Étape 2.2.2.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.3.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 2.2.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 1)$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.4

Élevez $0 - 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.5

Élevez $0 - 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Étape 2.3.2.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.3.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Étape 2.3.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = - 1$

Étape 2.3.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 3)$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Étape 2.4.2.1.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.2.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Étape 2.4.2.3.2

Divisez $3$ par $1$ .

$f (2) = 3$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.5

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Étape 3