Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{x} < 10$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} < 10^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 10^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} < 10^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x < 10^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x < 100$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x} - 10$ .

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Étape 3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 100$

$x > 100$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- 2} < 10$

Étape 5.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 100$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 100$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2} < 10$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $1.41421356$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 100$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 100$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 102$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $102$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{102} < 10$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $10.09950493$ n’est pas inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 100$ Vrai

$x > 100$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 100$ Vrai

$x > 100$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 100$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 100$

Notation d’intervalle :

$(0, 100)$

Étape 8