Pré-algèbre Exemples

$f (x) = \frac{810 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})}{x}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez $0.1$ à partir de $810 + 100 x + 0.1 x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $810$ .

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $100 x$ .

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x)$ .

$\frac{0.1 \cdot (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.1.4

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 \cdot (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}$ .

$\frac{0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})}{x}$

Étape 5.2

Développez $0.1 (8100 + 1000 x + x^{2})$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0.1 (8100 + 1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{0.1 \cdot 8100 + 0.1 \cdot (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.4

Multipliez $0.1$ par $8100$ .

$\frac{810 + 0.1 \cdot (1000 x) + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.5

Multipliez $0.1$ par $1000$ .

$\frac{810 + 100 x + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.6

Remettez dans l’ordre $810$ et $100 x$ .

$\frac{100 x + 810 + 0.1 x^{2}}{x}$

Étape 5.2.7

Déplacez $810$ .

$\frac{100 x + 0.1 x^{2} + 810}{x}$

Étape 5.2.8

Remettez dans l’ordre $100 x$ et $0.1 x^{2}$ .

$\frac{0.1 x^{2} + 100 x + 810}{x}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$0.1 x^{2}$

$100 x$

$810$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $0.1 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$0.1 x$
	$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			+	$0.1 x^{2}$	+	$0$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $0.1 x^{2} + 0$

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$0.1 x$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $100 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					+	$100 x$	+	$0$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $100 x + 0$

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					-	$100 x$	-	$0$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$0.1 x$	+	$100$
$x$	+	$0$		$0.1 x^{2}$	+	$100 x$	+	$810$
			-	$0.1 x^{2}$	-	$0$
					+	$100 x$	+	$810$
					-	$100 x$	-	$0$
							+	$810$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$0.1 x + 100 + \frac{810}{x}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 0.1 x + 100$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 0.1 x + 100$

Étape 7