Pré-algèbre Exemples

$- 6 x = - x^{2} + 32 y - 264 - y^{2}$

Étape 1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} + 32 y - 264 - y^{2} = - 6 x$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 32 y - 264 - y^{2} + 6 x = 0$

Étape 2.2

Déplacez $- 264$ .

$- x^{2} + 32 y - y^{2} + 6 x - 264 = 0$

Étape 2.3

Déplacez $32 y$ .

$- x^{2} - y^{2} + 6 x + 32 y - 264 = 0$

Étape 3

Ajoutez $264$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - y^{2} + 6 x + 32 y = 264$

Étape 4

Divisez les deux côtés de l’équation par $- 1$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 32 y = - 264$

Étape 5

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 6

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x - 32 y = - 264$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} - 32 y = - 264$

Étape 7

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} - 32 y = - 264 + 9$

Étape 8

Complétez le carré pour $y^{2} - 32 y$ .

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Étape 8.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 32$

$c = 0$

Étape 8.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 8.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 8.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (1)}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{1}$

Étape 8.3.2.2.4

Divisez $- 16$ par $1$ .

$d = - 16$

Étape 8.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 8.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 1}$

Étape 8.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4}$

Étape 8.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Étape 8.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$e = 0 - 256$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $256$ de $0$ .

$e = - 256$

Étape 8.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 16)}^{2} - 256$ .

${(y - 16)}^{2} - 256$

Étape 9

Remplacez $y^{2} - 32 y$ par ${(y - 16)}^{2} - 256$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x - 32 y = - 264$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 16)}^{2} - 256 = - 264 + 9$

Étape 10

Déplacez $- 256$ du côté droit de l’équation en ajoutant $256$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 16)}^{2} = - 264 + 9 + 256$

Étape 11

Simplifiez $- 264 + 9 + 256$ .

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Étape 11.1

Additionnez $- 264$ et $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 16)}^{2} = - 255 + 256$

Étape 11.2

Additionnez $- 255$ et $256$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 16)}^{2} = 1$

Étape 12

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 13

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 1$

$h = 3$

$k = 16$

Étape 14

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(3, 16)$

Étape 15

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(3, 16)$

Rayon : $1$

Étape 16