Pré-algèbre Exemples

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y - 8 = 0$

Étape 1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y = 8$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $81$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{9}$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{9}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{9}$

Étape 3.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{2}{9}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.5

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{81})}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{16}{81}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 3.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 3.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 3.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ par ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Étape 5

Déplacez $- \frac{4}{81}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{4}{81}$ des deux côtés.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{4}{9}$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{9}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 6.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 6.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 6.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ par ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Étape 8

Déplacez $- \frac{4}{81}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{4}{81}$ des deux côtés.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$

Étape 9

Simplifiez $\frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8 + 4 + 4}{81}$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $8$ et $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{12 + 4}{81}$

Étape 9.2.2

Additionnez $12$ et $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{16}{81}$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{4}{9}$

$h = \frac{2}{9}$

$k = - \frac{2}{9}$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Rayon : $\frac{4}{9}$

Étape 14