Pré-algèbre Exemples

$8 x^{2} - 9 y = 72$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $8 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 9 y = 72 - 8 x^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- 9 y = 72 - 8 x^{2}$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 y = 72 - 8 x^{2}$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez $72$ par $- 9$ .

$y = - 8 + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Étape 1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 8 + \frac{8 x^{2}}{9}$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Remettez dans l’ordre $- 8$ et $\frac{8 x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{8 x^{2}}{9} - 8$

Étape 2.1.2

Complétez le carré pour $\frac{8 x^{2}}{9} - 8$ .

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Étape 2.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{8}{9}$

$b = 0$

$c = - 8$

Étape 2.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{8}{9})}$

Étape 2.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{8}{9})}$

Étape 2.1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{8}{9})}$

Étape 2.1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{\frac{8}{9}}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 (\frac{9}{8})$

Étape 2.1.2.3.2.3

Multipliez $0$ par $\frac{9}{8}$ .

$d = 0$

Étape 2.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{8}{9})}$

Étape 2.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = - 8 - \frac{0}{4 (\frac{8}{9})}$

Étape 2.1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{8}{9}$ .

$e = - 8 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Étape 2.1.2.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$e = - 8 - \frac{0}{\frac{32}{9}}$

Étape 2.1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 8 - (0 (\frac{9}{32}))$

Étape 2.1.2.4.2.1.5

Multipliez $0$ par $\frac{9}{32}$ .

$e = - 8 - 0$

Étape 2.1.2.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = - 8 + 0$

Étape 2.1.2.4.2.2

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$e = - 8$

Étape 2.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{8}{9} {(x + 0)}^{2} - 8$ .

$\frac{8}{9} {(x + 0)}^{2} - 8$

Étape 2.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{8}{9} \cdot {(x + 0)}^{2} - 8$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{8}{9}$

$h = 0$

$k = - 8$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, - 8)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{8}{9}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{1}{\frac{32}{9}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{9}{32})$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $\frac{9}{32}$ par $1$ .

$\frac{9}{32}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - \frac{247}{32})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 0$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{265}{32}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, - 8)$

Foyer : $(0, - \frac{247}{32})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{265}{32}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, - 8)$

Foyer : $(0, - \frac{247}{32})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{265}{32}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{8 {(- 1)}^{2}}{9} - 8$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{8 \cdot 1}{9} - 8$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} - 8$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{8 - 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$f (- 1) = \frac{8 - 72}{9}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $72$ de $8$ .

$f (- 1) = \frac{- 64}{9}$

Étape 3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{64}{9}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $- \frac{64}{9}$ .

$- \frac{64}{9}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- \frac{64}{9}$ .

$y = - \frac{64}{9}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{2}}{9} - 8$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{8 \cdot 4}{9} - 8$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} - 8$

Étape 3.5.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.5.3

Associez $- 8$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{32 - 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$f (- 2) = \frac{32 - 72}{9}$

Étape 3.5.5.2

Soustrayez $72$ de $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 40}{9}$

Étape 3.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{40}{9}$

Étape 3.5.7

La réponse finale est $- \frac{40}{9}$ .

$- \frac{40}{9}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- \frac{40}{9}$ .

$y = - \frac{40}{9}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{8 {(3)}^{2}}{9} - 8$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{8 \cdot 9}{9} - 8$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$f (3) = \frac{72}{9} - 8$

Étape 3.8.1.3

Divisez $72$ par $9$ .

$f (3) = 8 - 8$

Étape 3.8.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (3) = 0$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{8 {(1)}^{2}}{9} - 8$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{8 \cdot 1}{9} - 8$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (1) = \frac{8}{9} - 8$

Étape 3.11.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{8}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.11.3

Associez $- 8$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{8}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{8 - 8 \cdot 9}{9}$

Étape 3.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.5.1

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$f (1) = \frac{8 - 72}{9}$

Étape 3.11.5.2

Soustrayez $72$ de $8$ .

$f (1) = \frac{- 64}{9}$

Étape 3.11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{64}{9}$

Étape 3.11.7

La réponse finale est $- \frac{64}{9}$ .

$- \frac{64}{9}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- \frac{64}{9}$ .

$y = - \frac{64}{9}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{40}{9} \\ - 1 & - \frac{64}{9} \\ 0 & - 8 \\ 1 & - \frac{64}{9} \\ 3 & 0 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, - 8)$

Foyer : $(0, - \frac{247}{32})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{265}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{40}{9} \\ - 1 & - \frac{64}{9} \\ 0 & - 8 \\ 1 & - \frac{64}{9} \\ 3 & 0 \end{array}$

Étape 5