Pré-algèbre Exemples

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour ${(- 9 x + 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Réécrivez ${(- 9 x + 1)}^{2}$ comme $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ .

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

Étape 1.2.1.2

Développez $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

Étape 1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

Étape 1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.5

Multipliez $- 9 x$ par $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

Étape 1.2.1.3.2

Soustrayez $9 x$ de $- 9 x$ .

$81 x^{2} - 18 x + 1$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9}{81}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $81$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{9}$

Étape 1.2.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{9}$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $81$ .

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $324$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 1 - 1$

Étape 1.2.5.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e = 0$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ .

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{1}{9}, 0)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $81$ .

$\frac{1}{324}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{1}{9}$

Étape 8

Déterminez la directrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{1}{324}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{1}{9}, 0)$

Foyer : $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Axe de symétrie : $x = \frac{1}{9}$

Directrice : $y = - \frac{1}{324}$

Étape 10