Pré-algèbre Exemples

$R (x) = - x^{2} + 50 x + 5000$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- x^{2} + 50 x + 5000$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 50$

$c = 5000$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{50}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $50$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$d = \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{25}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 25$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$d = - 25$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5000 - \frac{50^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $50$ à la puissance $2$ .

$e = 5000 - \frac{2500}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 5000 - \frac{2500}{- 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $2500$ par $- 4$ .

$e = 5000 - - 625$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 625$ .

$e = 5000 + 625$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $5000$ et $625$ .

$e = 5625$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 25)}^{2} + 5625$ .

$- {(x - 25)}^{2} + 5625$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x - 25)}^{2} + 5625$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 25$

$k = 5625$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(25, 5625)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(25, \frac{22499}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 25$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{22501}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(25, 5625)$

Foyer : $(25, \frac{22499}{4})$

Axe de symétrie : $x = 25$

Directrice : $y = \frac{22501}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(25, 5625)$

Foyer : $(25, \frac{22499}{4})$

Axe de symétrie : $x = 25$

Directrice : $y = \frac{22501}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $24$ dans l’expression.

$f (24) = - {(24)}^{2} + 50 (24) + 5000$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$f (24) = - 1 \cdot 576 + 50 (24) + 5000$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $576$ .

$f (24) = - 576 + 50 (24) + 5000$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $50$ par $24$ .

$f (24) = - 576 + 1200 + 5000$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 576$ et $1200$ .

$f (24) = 624 + 5000$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $624$ et $5000$ .

$f (24) = 5624$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $5624$ .

$5624$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 24$ est $5624$ .

$y = 5624$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $23$ dans l’expression.

$f (23) = - {(23)}^{2} + 50 (23) + 5000$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$f (23) = - 1 \cdot 529 + 50 (23) + 5000$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $529$ .

$f (23) = - 529 + 50 (23) + 5000$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $50$ par $23$ .

$f (23) = - 529 + 1150 + 5000$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 529$ et $1150$ .

$f (23) = 621 + 5000$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $621$ et $5000$ .

$f (23) = 5621$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $5621$ .

$5621$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 23$ est $5621$ .

$y = 5621$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $26$ dans l’expression.

$f (26) = - {(26)}^{2} + 50 (26) + 5000$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $26$ à la puissance $2$ .

$f (26) = - 1 \cdot 676 + 50 (26) + 5000$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $676$ .

$f (26) = - 676 + 50 (26) + 5000$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $50$ par $26$ .

$f (26) = - 676 + 1300 + 5000$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 676$ et $1300$ .

$f (26) = 624 + 5000$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $624$ et $5000$ .

$f (26) = 5624$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $5624$ .

$5624$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 26$ est $5624$ .

$y = 5624$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $27$ dans l’expression.

$f (27) = - {(27)}^{2} + 50 (27) + 5000$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.1

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$f (27) = - 1 \cdot 729 + 50 (27) + 5000$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $729$ .

$f (27) = - 729 + 50 (27) + 5000$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $50$ par $27$ .

$f (27) = - 729 + 1350 + 5000$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 729$ et $1350$ .

$f (27) = 621 + 5000$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $621$ et $5000$ .

$f (27) = 5621$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $5621$ .

$5621$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 27$ est $5621$ .

$y = 5621$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 23 & 5621 \\ 24 & 5624 \\ 25 & 5625 \\ 26 & 5624 \\ 27 & 5621 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(25, 5625)$

Foyer : $(25, \frac{22499}{4})$

Axe de symétrie : $x = 25$

Directrice : $y = \frac{22501}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 23 & 5621 \\ 24 & 5624 \\ 25 & 5625 \\ 26 & 5624 \\ 27 & 5621 \end{array}$

Étape 4