Pré-algèbre Exemples

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Étape 1

Simplifiez $- \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(y - 2)}^{2}$ comme $(y - 2) (y - 2)$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot ((y - 2) (y - 2)) - 4$

Étape 1.1.2

Développez $(y - 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y (y - 2) - 2 (y - 2)) - 4$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) - 4$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) - 4$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) - 4$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $2 y$ de $- 2 y$ .

$x = - \frac{1}{5} \cdot (y^{2} - 4 y + 4) - 4$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{1}{5} y^{2} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} (- 4 y) - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- \frac{1}{5} (- 4 y)$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + 4 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Étape 1.1.5.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4}{5} y - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Étape 1.1.5.2.3

Associez $\frac{4}{5}$ et $y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{1}{5} \cdot 4 - 4$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot 4$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - 4 (\frac{1}{5}) - 4$

Étape 1.1.5.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4}{5} - 4$

Étape 1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4$

Étape 1.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.3

Associez $- 4$ et $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 4 \cdot 5}{5}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 4 - 20}{5}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $20$ de $- 4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{- 24}{5}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y}{5} - \frac{24}{5}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{4}{5}$

$c = - \frac{24}{5}$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{2}{5 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = \frac{2}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.3.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 5}{5}}$

Étape 2.1.1.3.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 2.1.1.3.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 2.1.1.3.2.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Étape 2.1.1.3.2.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.1.3.2.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{{(\frac{4}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{4^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{24}{5} - \frac{\frac{16}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} (- \frac{5}{4}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 (4)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4 \cdot 4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{25} \cdot - 5)$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 (5)} \cdot - 5)$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{24}{5} - (\frac{4}{5} \cdot - 1)$

Étape 2.1.1.4.2.1.7

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{4 \cdot - 1}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} - \frac{- 4}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{24}{5} - - \frac{4}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10

Multipliez $- - \frac{4}{5}$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{24}{5} + 1 (\frac{4}{5})$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$e = - \frac{24}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 24 + 4}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Additionnez $- 24$ et $4$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $- 20$ par $5$ .

$e = - 4$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{5} {(y - 2)}^{2} - 4$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = 2$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Étape 2.5.3.4

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{21}{4}, 2)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 2$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{11}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 4, 2)$

Foyer : $(- \frac{21}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{11}{4}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 4, 2)$

Foyer : $(- \frac{21}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{11}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $- 6$ dans $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . Dans ce cas, le point est $(- 6, 5.16227766)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Étape 3.1.2.1.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- 6) = \sqrt{10} + 2$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{10} + 2$ .

$y = \sqrt{10} + 2$

Étape 3.1.3

Convertissez $\sqrt{10} + 2$ en décimale.

$= 5.16227766$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $- 6$ dans $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . Dans ce cas, le point est $(- 6, - 1.16227766)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = - \sqrt{5 (- (- 6) - 4)} + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 (6 - 4)} + 2$

Étape 3.2.2.1.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{5 \cdot 2} + 2$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- 6) = - \sqrt{10} + 2$

Étape 3.2.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{10} + 2$ .

$y = - \sqrt{10} + 2$

Étape 3.2.3

Convertissez $- \sqrt{10} + 2$ en décimale.

$= - 1.16227766$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, 4.23606797)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Étape 3.3.2.1.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (- 5) = \sqrt{5} + 2$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $\sqrt{5} + 2$ .

$y = \sqrt{5} + 2$

Étape 3.3.3

Convertissez $\sqrt{5} + 2$ en décimale.

$= 4.23606797$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = - \sqrt{5 (- x - 4)} + 2$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, - 0.23606797)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - \sqrt{5 (- (- 5) - 4)} + 2$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 (5 - 4)} + 2$

Étape 3.4.2.1.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5 \cdot 1} + 2$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (- 5) = - \sqrt{5} + 2$

Étape 3.4.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{5} + 2$ .

$y = - \sqrt{5} + 2$

Étape 3.4.3

Convertissez $- \sqrt{5} + 2$ en décimale.

$= - 0.23606797$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 4, 2)$

Foyer : $(- \frac{21}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 5.16 \\ - 6 & - 1.16 \\ - 5 & 4.24 \\ - 5 & - 0.24 \\ - 4 & 2 \end{array}$

Étape 5