Pré-algèbre Exemples

$x = y^{2} + 6 y + 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $y^{2} + 6 y + 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 3$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 3 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 3 - \frac{36}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 3 - 1 \cdot 9$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 3 - 9$

Étape 1.1.1.4.2.2

Soustrayez $9$ de $3$ .

$e = - 6$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 3)}^{2} - 6$ .

${(y + 3)}^{2} - 6$

Étape 1.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y + 3)}^{2} - 6$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = - 6$

$k = - 3$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 6, - 3)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{23}{4}, - 3)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 3$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{25}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 3)$

Foyer : $(- \frac{23}{4}, - 3)$

Axe de symétrie : $y = - 3$

Directrice : $x = - \frac{25}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 3)$

Foyer : $(- \frac{23}{4}, - 3)$

Axe de symétrie : $y = - 3$

Directrice : $x = - \frac{25}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = - 3 + \sqrt{6 + x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, - 2)$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - 3 + \sqrt{6 - 5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 5) = - 3 + \sqrt{6 - 5}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $5$ de $6$ .

$f (- 5) = - 3 + \sqrt{1}$

Étape 2.1.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 5) = - 3 + 1$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$f (- 5) = - 2$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 2.1.3

Convertissez $- 2$ en décimale.

$= - 2$

Étape 2.2

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = - 3 - \sqrt{6 + x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, - 4)$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - 3 - \sqrt{6 - 5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 5) = - 3 - \sqrt{6 - 5}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $5$ de $6$ .

$f (- 5) = - 3 - \sqrt{1}$

Étape 2.2.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 5) = - 3 - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- 5) = - 3 - 1$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f (- 5) = - 4$

Étape 2.2.2.4

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.2.3

Convertissez $- 4$ en décimale.

$= - 4$

Étape 2.3

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 3 + \sqrt{6 + x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, - 1.58578643)$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 3 + \sqrt{6 - 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 4) = - 3 + \sqrt{6 - 4}$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (- 4) = - 3 + \sqrt{2}$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $- 3 + \sqrt{2}$ .

$y = - 3 + \sqrt{2}$

Étape 2.3.3

Convertissez $- 3 + \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 1.58578643$

Étape 2.4

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 3 - \sqrt{6 + x}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, - 4.41421356)$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 3 - \sqrt{6 - 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 4) = - 3 - \sqrt{6 - 4}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (- 4) = - 3 - \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.3

La réponse finale est $- 3 - \sqrt{2}$ .

$y = - 3 - \sqrt{2}$

Étape 2.4.3

Convertissez $- 3 - \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 4.41421356$

Étape 2.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 3 \\ - 5 & - 2 \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 1.59 \\ - 4 & - 4.41 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 3)$

Foyer : $(- \frac{23}{4}, - 3)$

Axe de symétrie : $y = - 3$

Directrice : $x = - \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 3 \\ - 5 & - 2 \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 1.59 \\ - 4 & - 4.41 \end{array}$

Étape 4