Pré-algèbre Exemples

$x = - 2 y^{2} - 8 y - 14$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- 2 y^{2} - 8 y - 14$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = - 14$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 14 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{- 8}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 8$ .

$e = - 14 - - 8$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$e = - 14 + 8$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $- 14$ et $8$ .

$e = - 6$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$ .

$- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Étape 1.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = - 6$

$k = - 2$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 6, - 2)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{49}{8}, - 2)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 2$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{47}{8}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 6, - 2)$

Foyer : $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{47}{8}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 6, - 2)$

Foyer : $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{47}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la valeur $x$ $- 8$ dans $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 8, - 3)$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Additionnez $- 6$ et $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

Étape 2.1.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 2.1.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 8) = - \frac{4 + 2}{2}$

Étape 2.1.2.1.6

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (- 8) = - \frac{6}{2}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.2.1

Divisez $6$ par $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 3$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- 8) = - 3$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 2.1.3

Convertissez $- 3$ en décimale.

$= - 3$

Étape 2.2

Remplacez la valeur $x$ $- 8$ dans $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 8, - 1)$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $- 6$ et $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 2.2.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 8) = - \frac{4 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - 2}{2}$

Étape 2.2.2.1.7

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 8) = - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- 8) = - 1$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.2.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 2.3

Remplacez la valeur $x$ $- 7$ dans $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 7, - 2.70710678)$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.2

La réponse finale est $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3

Convertissez $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ en décimale.

$= - 2.70710678$

Étape 2.4

Remplacez la valeur $x$ $- 7$ dans $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 7, - 1.29289321)$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.2

La réponse finale est $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.3

Convertissez $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ en décimale.

$= - 1.29289321$

Étape 2.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 6, - 2)$

Foyer : $(- \frac{49}{8}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{47}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

Étape 4