Pré-algèbre Exemples

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y - 107 = 0$

Étape 1

Ajoutez $107$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y = 107$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

Étape 5

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + y = \frac{107}{4} + 9$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} + y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} + y$ par ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{107}{4} + 9$

Étape 8

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$

Étape 9

Simplifiez $\frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{107 + 1}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Additionnez $107$ et $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{108}{4}$

Étape 9.2.2

Divisez $108$ par $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + 27$

Étape 9.2.3

Additionnez $9$ et $27$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 36$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 6$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{2}$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(3, - \frac{1}{2})$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(3, - \frac{1}{2})$

Rayon : $6$

Étape 14