Pré-algèbre Exemples

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y + 81 = 0$

Étape 1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y = - 81$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 5 x$ par ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4}$

Étape 5

Déplacez $- \frac{25}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - 8 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - 8 y$ par ${(y - 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 8

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$

Étape 9

Simplifiez $- \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 81 + 25}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 81$ et $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 56}{4}$

Étape 9.2.2

Divisez $- 56$ par $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 - 14$

Étape 9.2.3

Soustrayez $14$ de $16$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \sqrt{2}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = 4$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{5}{2}, 4)$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{5}{2}, 4)$

Rayon : $\sqrt{2}$

Étape 14