Pré-algèbre Exemples

$5 x^{2} + 8 y^{2} = 36$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{5 x^{2}}{36} + \frac{8 y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{36}{5}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{2}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$

$b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{(6 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{6^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{36 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{1}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{180}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun à $180$ et $25$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $180$ .

$\sqrt{\frac{5 (36)}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

Étape 5.3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{4}}$

Étape 5.3.6.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{18}{4}}$

Étape 5.3.6.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 5.3.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 (9)}{4}}$

Étape 5.3.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.3.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.3.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9}{2}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $\frac{36}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}}$

Étape 5.3.8

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 5.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.9.1

Multipliez $\frac{36}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 5.3.9.3

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 5}}$

Étape 5.3.9.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{10}}$

Étape 5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2 - 9 \cdot 5}{10}}$

Étape 5.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.11.1

Multipliez $36$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{72 - 9 \cdot 5}{10}}$

Étape 5.3.11.2

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{72 - 45}{10}}$

Étape 5.3.11.3

Soustrayez $45$ de $72$ .

$\sqrt{\frac{27}{10}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{27}{10}}$ comme $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.13.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.13.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.3.13.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.3.13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.3.14

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.3.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.15.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 5.3.15.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 5.3.15.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 5.3.15.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.15.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 5.3.15.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 5.3.15.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.15.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.15.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.15.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.15.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.15.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 5.3.15.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Étape 5.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.16.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{10 \cdot 3}}{10}$

Étape 5.3.16.2

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{6 \sqrt{5}}{5}), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{30}}{10}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{5}}{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{6 \sqrt{5}}{5})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{(6 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{6^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{36 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5^{1}}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{5^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 5}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{180}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.3

Annulez le facteur commun à $180$ et $25$ .

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Étape 8.3.4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $180$ .

$\sqrt{\frac{5 (36)}{25} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.4.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.5.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.6.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9 \cdot 2}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{18}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 8.3.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 (9)}{4}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{36}{5} - \frac{9}{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.8

Pour écrire $\frac{36}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.9

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.10.1

Multipliez $\frac{36}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.10.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.10.3

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 5}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.10.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{10} - \frac{9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 2 - 9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.12.1

Multipliez $36$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{72 - 9 \cdot 5}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.12.2

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{72 - 45}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.12.3

Soustrayez $45$ de $72$ .

$\sqrt{\frac{27}{10}} \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{27}{10}}$ comme $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.14.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.14.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.14.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.15

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.15.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.15.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{6 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.15.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{3 (2 \sqrt{5})}$

Étape 8.3.15.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{3 (2 \sqrt{5})}$

Étape 8.3.15.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.15.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{\sqrt{10} (2 \sqrt{5})}$

Étape 8.3.15.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{2 \sqrt{10 \cdot 5}}$

Étape 8.3.15.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.15.4.1

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 5}{2 \sqrt{50}}$

Étape 8.3.15.4.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{50}}$

Étape 8.3.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.16.1

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.16.1.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{25 (2)}}$

Étape 8.3.16.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.16.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 5 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.16.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{10 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.17

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 8.3.17.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 (\sqrt{3})}{10 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 (\sqrt{3})}{5 (2 \sqrt{2})}$

Étape 8.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{3}}{5 (2 \sqrt{2})}$

Étape 8.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.18

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.19

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.19.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.19.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.19.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.19.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 8.3.19.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.19.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.19.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.19.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.19.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.19.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.19.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.19.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.19.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 8.3.19.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.20.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.20.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.21

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{30}}{10}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 10