Pré-algèbre Exemples

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $5 x^{2} - 27 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$d = \frac{- 27}{10}$

Étape 1.2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{27}{10}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 27$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$e = 0 - \frac{729}{20}$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $\frac{729}{20}$ de $0$ .

$e = - \frac{729}{20}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

Étape 1.3

Remplacez $5 x^{2} - 27 x$ par $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ dans l’équation $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

Étape 1.4

Déplacez $- \frac{729}{20}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{729}{20}$ des deux côtés.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $2 y^{2} + 16 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{2}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{8}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $256$ par $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$e = 0 - 32$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $32$ de $0$ .

$e = - 32$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ .

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

Étape 1.6

Remplacez $2 y^{2} + 16 y$ par $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ dans l’équation $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

Étape 1.7

Déplacez $- 32$ du côté droit de l’équation en ajoutant $32$ des deux côtés.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

Étape 1.8

Simplifiez $19 + \frac{729}{20} + 32$ .

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Étape 1.8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.8.1.1

Écrivez $19$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\frac{19}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $\frac{19}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Étape 1.8.1.4

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Étape 1.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $19$ par $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Étape 1.8.3.2

Multipliez $32$ par $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

Étape 1.8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.8.4.1

Additionnez $380$ et $729$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

Étape 1.8.4.2

Additionnez $1109$ et $640$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $\frac{1749}{20}$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(\frac{27}{10}, - 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{17490}}^{2}$ comme $17490$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17490}$ comme $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $17490$ et $400$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $10$ à partir de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $10$ à partir de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Étape 5.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1749}}^{2}$ comme $1749$ .

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Étape 5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1749}$ comme $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

Étape 5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

Étape 5.3.7

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

Étape 5.3.8

Pour écrire $\frac{1749}{40}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

Étape 5.3.9

Pour écrire $- \frac{1749}{100}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 5.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $200$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.10.1

Multipliez $\frac{1749}{40}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 5.3.10.2

Multipliez $40$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 5.3.10.3

Multipliez $\frac{1749}{100}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

Étape 5.3.10.4

Multipliez $100$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

Étape 5.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Étape 5.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.12.1

Multipliez $1749$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Étape 5.3.12.2

Multipliez $- 1749$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

Étape 5.3.12.3

Soustrayez $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

Étape 5.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ comme $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

Étape 5.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.14.1

Réécrivez $5247$ comme $3^{2} \cdot 583$ .

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Étape 5.3.14.1.1

Factorisez $9$ à partir de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

Étape 5.3.14.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

Étape 5.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

Étape 5.3.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.15.1

Réécrivez $200$ comme $10^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.15.1.1

Factorisez $100$ à partir de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

Étape 5.3.15.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.15.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

Étape 5.3.16

Multipliez $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.17

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.17.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.17.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 5.3.17.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 5.3.17.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 5.3.17.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.17.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.17.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.17.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.17.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.17.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.17.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.17.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.17.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Étape 5.3.17.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Étape 5.3.18

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.18.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

Étape 5.3.18.2

Multipliez $2$ par $583$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

Étape 5.3.19

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Étape 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

Étape 6.5

Simplifiez

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

Étape 8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3

Réécrivez ${\sqrt{17490}}^{2}$ comme $17490$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17490}$ comme $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.4

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun à $17490$ et $400$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.5.1

Factorisez $10$ à partir de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7

Réécrivez ${\sqrt{1749}}^{2}$ comme $1749$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1749}$ comme $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.8

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.9

Pour écrire $\frac{1749}{40}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.10

Pour écrire $- \frac{1749}{100}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $200$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.11.1

Multipliez $\frac{1749}{40}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.11.2

Multipliez $40$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.11.3

Multipliez $\frac{1749}{100}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.11.4

Multipliez $100$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.13.1

Multipliez $1749$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.13.2

Multipliez $- 1749$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.13.3

Soustrayez $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ comme $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.15

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.15.1

Réécrivez $5247$ comme $3^{2} \cdot 583$ .

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Étape 8.3.15.1.1

Factorisez $9$ à partir de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.15.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.15.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.16

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.16.1

Réécrivez $200$ comme $10^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.16.1.1

Factorisez $100$ à partir de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.16.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.16.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.17.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.17.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.1.2

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.2

Multipliez $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Étape 8.3.17.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

Étape 8.3.17.5

Multipliez $2$ par $17490$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

Étape 8.3.18

Associez $\sqrt{583}$ et $\sqrt{34980}$ en un radical unique.

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

Étape 8.3.19

Annulez le facteur commun à $583$ et $34980$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.19.1

Factorisez $583$ à partir de $583$ .

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

Étape 8.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.19.2.1

Factorisez $583$ à partir de $34980$ .

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Étape 8.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Étape 8.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

Étape 8.3.20

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{60}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ .

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

Étape 8.3.21

Toute racine de $1$ est $1$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

Étape 8.3.22

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.22.1

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.22.1.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

Étape 8.3.22.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Étape 8.3.22.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.3.23

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.23.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.23.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.3.23.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{15}$ .

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

Étape 8.3.23.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.3.23.1.4

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

Étape 8.3.23.2

Associez $3$ et $\frac{1}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

Étape 8.3.24

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 8.3.25

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.25.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 8.3.25.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Étape 8.3.25.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Étape 8.3.25.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.25.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 8.3.25.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.25.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.25.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.25.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.25.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.25.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.25.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

Étape 8.3.25.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

Étape 8.3.26

Annulez le facteur commun à $3$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.26.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

Étape 8.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.26.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Étape 8.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Étape 8.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 10