Pré-algèbre Exemples

$6 y^{2} - 12 y - 24 x - 42 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $6 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 y - 24 x - 42 = - 6 y^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $12 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 24 x - 42 = - 6 y^{2} + 12 y$

Étape 1.3

Ajoutez $42$ aux deux côtés de l’équation.

$- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ par $- 24$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ par $- 24$ .

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 24$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 24$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 24$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 6 (4)} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 6 \cdot 4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $- 24$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 (y)}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{42}{- 24}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $42$ et $- 24$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 (7)}{- 24}$

Étape 2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{7}{- 4}$

Étape 2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 3.1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.1.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 3.1.1.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.1.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.1.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.1.1.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 3.1.1.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.3.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 3.1.1.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.1.3.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.1.3.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.4

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 3.1.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 7 - 1}{4}$

Étape 3.1.1.4.2.3

Soustrayez $1$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Étape 3.1.1.4.2.4

Divisez $- 8$ par $4$ .

$e = - 2$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = 1$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 3.5.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 3.5.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 1)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 1$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 3$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 1)$

Foyer : $(- 1, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = - 3$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 1)$

Foyer : $(- 1, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = - 3$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 3)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{1}$

Étape 4.1.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = 3$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 4.1.3

Convertissez $3$ en décimale.

$= 3$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, - 1)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{1}$

Étape 4.2.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 4.2.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 3.82842712)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $1 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.3

Convertissez $1 + 2 \sqrt{2}$ en décimale.

$= 3.82842712$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 1.82842712)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $1 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.3

Convertissez $1 - 2 \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 1.82842712$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 1)$

Foyer : $(- 1, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Étape 6