Pré-algèbre Exemples

$- 3 y^{2} + 12 y - x - 9 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$12 y - x - 9 = 3 y^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $12 y$ des deux côtés de l’équation.

$- x - 9 = 3 y^{2} - 12 y$

Étape 1.3

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (3 y^{2})$ comme $- (3 y^{2})$ .

$x = - (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 12 y}{- 1}$ .

$x = - 3 y^{2} - 1 \cdot (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (- 12 y)$ comme $- (- 12 y)$ .

$x = - 3 y^{2} - (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y + \frac{9}{- 1}$

Étape 2.3.1.7

Divisez $9$ par $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 9$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 3.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Étape 3.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{- 3}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 3$ .

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Étape 3.1.1.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Étape 3.1.1.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 3.1.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = - 9 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = - 9 - \frac{144}{- 12}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3

Divisez $144$ par $- 12$ .

$e = - 9 - - 12$

Étape 3.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$e = - 9 + 12$

Étape 3.1.1.4.2.2

Additionnez $- 9$ et $12$ .

$e = 3$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 3$

$h = 3$

$k = 2$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Étape 3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{12}$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{35}{12}, 2)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 2$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{37}{12}$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(3, 2)$

Foyer : $(\frac{35}{12}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = \frac{37}{12}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(3, 2)$

Foyer : $(\frac{35}{12}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = \frac{37}{12}$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 2.81649658)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 4.1.3

Convertissez $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ en décimale.

$= 2.81649658$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 1.18350341)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 4.2.3

Convertissez $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ en décimale.

$= 1.18350341$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2.57735026)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.3.3

Convertissez $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ en décimale.

$= 2.57735026$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 1.42264973)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Étape 4.4.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.4.3

Convertissez $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ en décimale.

$= 1.42264973$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(3, 2)$

Foyer : $(\frac{35}{12}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = \frac{37}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Étape 6