Pré-algèbre Exemples

$x^{2} - y^{2} = 21$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $21$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = \frac{21}{21}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{21}$

$b = \sqrt{21}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{21^{1} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{21 + {(\sqrt{21})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{21 + 21^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{21 + 21}$

Étape 5.3.3

Additionnez $21$ et $21$ .

$\sqrt{42}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{21}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{21}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{42}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{42}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{21^{1} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{21 + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{21 + 21^{1}}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{21 + 21}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $21$ et $21$ .

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{21}}$

Étape 8.3.2

Associez $\sqrt{42}$ et $\sqrt{21}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{42}{21}}$

Étape 8.3.3

Divisez $42$ par $21$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 9.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{21^{1}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{21}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{21}{\sqrt{42}}$ par $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{21}{\sqrt{42}}$ par $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{42}$ à la puissance $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{42}$ à la puissance $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{42}}^{2}$ comme $42$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{42}$ comme $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{21 \sqrt{42}}{42}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $21$ et $42$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $21$ à partir de $21 \sqrt{42}$ .

$\frac{21 (\sqrt{42})}{42}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $21$ à partir de $42$ .

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{42}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Étape 11

Simplifiez $1 \cdot x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $1 \cdot x$ et $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Étape 11.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez $- 1 \cdot x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- 1 \cdot x$ et $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Étape 12.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

Foyers : $(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Asymptotes : $y = x$ , $y = - x$

Étape 15