Pré-algèbre Exemples

$x^{2} + y^{2} + x + 6 y + 9 = 0$

Étape 1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} + x + 6 y = - 9$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + x$ par ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + x + 6 y = - 9$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 6 y = - 9 + \frac{1}{4}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 6 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 6 y$ par ${(y + 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + x + 6 y = - 9$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 9 + \frac{1}{4}$

Étape 7

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 9 + \frac{1}{4} + 9$

Étape 8

Simplifiez $- 9 + \frac{1}{4} + 9$ .

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Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9}{1} + \frac{1}{4} + 9$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 9$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 9$

Étape 8.1.4

Écrivez $9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{1}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 \cdot 4 + 1 + 9 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 9$ par $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 36 + 1 + 9 \cdot 4}{4}$

Étape 8.3.2

Multipliez $9$ par $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 36 + 1 + 36}{4}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.4.1

Additionnez $- 36$ et $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{- 35 + 36}{4}$

Étape 8.4.2

Additionnez $- 35$ et $36$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{1}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - 3$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- \frac{1}{2}, - 3)$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- \frac{1}{2}, - 3)$

Rayon : $\frac{1}{2}$

Étape 13