Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{64 - 49 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \sqrt{64 - 49 x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8 + 7 x = 0$

$8 - 7 x = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $8 + 7 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $8 + 7 x$ égal à $0$ .

$8 + 7 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Résolvez $8 + 7 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 8$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 8$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 8$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Étape 1.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Étape 1.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{7}$

Étape 1.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{7}$

Étape 1.2.3

Définissez $8 - 7 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $8 - 7 x$ égal à $0$ .

$8 - 7 x = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $8 - 7 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 x = - 8$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 8$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 8$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 1.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 8}{- 7}$

Étape 1.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 7}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{8}{7}$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(8 + 7 x) (8 - 7 x) \geq 0$ vraie.

$x = - \frac{8}{7}, \frac{8}{7}$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{8}{7}$

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$

$x > \frac{8}{7}$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(8 + 7 (- 4)) (8 - 7 \cdot - 4) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 720$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(8 + 7 (0)) (8 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $64$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{8}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(8 + 7 (4)) (8 - 7 \cdot 4) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 720$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{8}{7}$ Faux

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Vrai

$x > \frac{8}{7}$ Faux

$x < - \frac{8}{7}$ Faux

$- \frac{8}{7} < x < \frac{8}{7}$ Vrai

$x > \frac{8}{7}$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{8}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = \sqrt{(8 + 7 x) (8 - 7 x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{8}{7}$ dans l’expression.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (- \frac{8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{7}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{- 8}{7})) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{(8 - 8) (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (- \frac{8}{7}))}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{7}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 7 (\frac{- 8}{7}))}$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 (- 1) (\frac{- 8}{7}))}$

Étape 2.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{- 8}{7})))}$

Étape 2.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 - 1 \cdot - 8)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 (8 + 8)}$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0 \cdot 16}$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $0$ par $16$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.4.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- \frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{8}{7}) = 0$

Étape 2.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{7}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 7 (\frac{8}{7})) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{(8 + 8) (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Étape 2.4.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 7 (\frac{8}{7}))}$

Étape 2.4.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 (- 1) (\frac{8}{7}))}$

Étape 2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 + 7 \cdot (- 1 (\frac{8}{7})))}$

Étape 2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 1 \cdot 8)}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 (8 - 8)}$

Étape 2.4.4.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{16 \cdot 0}$

Étape 2.4.4.3

Multipliez $16$ par $0$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.4.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (\frac{8}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{8}{7}) = 0$

Étape 2.4.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$ .

$(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0)$

Étape 4

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- \frac{8}{7}, 0), (\frac{8}{7}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{7} & 0 \\ \frac{8}{7} & 0 \end{array}$

Étape 5