Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Réécrivez de sorte que $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Étape 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ comme ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.5

Simplifiez

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Étape 7.1.2.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.5.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Étape 7.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Étape 7.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Étape 7.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Multipliez par $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Étape 7.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Étape 7.3.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Étape 7.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Étape 7.5

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 7.5.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.6

Définissez $x^{2} - 3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.6.1

Définissez $x^{2} - 3 x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Étape 7.6.2

Résolvez $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.3

Simplifiez

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Étape 7.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

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Étape 8.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Étape 11