Pré-algèbre Exemples

$- \frac{2}{3} x^{2} + 8 x - 24$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 2}{3} + 8 x - 24$

Étape 1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{2 x^{2}}{3} + 8 x - 24$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$b = 8$

$c = - 24$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{- \frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 4 (- \frac{3}{2})$

Étape 2.1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$d = 4 (\frac{- 3}{2})$

Étape 2.1.1.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = 2 (2) \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.1.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = 2 \cdot 2 \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.1.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = 2 \cdot - 3$

Étape 2.1.1.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$d = - 6$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{8^{2}}{4 (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{4 (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 24 - \frac{64}{- 4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 4 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$e = - 24 - \frac{64}{\frac{- 8}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - 24 - \frac{64}{- \frac{8}{3}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 24 - (64 (- \frac{3}{8}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$e = - 24 - (64 (\frac{- 3}{8}))$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$e = - 24 - (8 (8) \frac{- 3}{8})$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - 24 - (8 \cdot 8 \frac{- 3}{8})$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - 24 - (8 \cdot - 3)$

Étape 2.1.1.4.2.1.7

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$e = - 24 - - 24$

Étape 2.1.1.4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$e = - 24 + 24$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$ .

$- \frac{2}{3} {(x - 6)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$h = 6$

$k = 0$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(6, 0)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Étape 2.5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{8}))$

Étape 2.5.3.5

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $1$ .

$- \frac{3}{8}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, - \frac{3}{8})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 6$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{3}{8}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(6, 0)$

Foyer : $(6, - \frac{3}{8})$

Axe de symétrie : $x = 6$

Directrice : $y = \frac{3}{8}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(6, 0)$

Foyer : $(6, - \frac{3}{8})$

Axe de symétrie : $x = 6$

Directrice : $y = \frac{3}{8}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - \frac{2 {(5)}^{2}}{3} + 8 (5) - 24$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - \frac{2 \cdot 25}{3} + 8 (5) - 24$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 8 (5) - 24$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + 40 - 24$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $40$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} - 24$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{40}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{40}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} - 24$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = - \frac{50}{3} + \frac{40 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5) = \frac{- 50 + 40 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $40$ par $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$f (5) = \frac{- 50 + 120 - 72}{3}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Additionnez $- 50$ et $120$ .

$f (5) = \frac{70 - 72}{3}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $72$ de $70$ .

$f (5) = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (5) = - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - \frac{2 {(4)}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (4) = - \frac{2 \cdot 2^{4}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (4) = - \frac{2^{1 + 4}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.1.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (4) = - \frac{2^{5}}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 8 (4) - 24$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + 32 - 24$

Étape 3.5.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.5.2.1

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 24$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 24$

Étape 3.5.2.4

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = - \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (4) = \frac{- 32 + 32 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 96 - 72}{3}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $- 32$ et $96$ .

$f (4) = \frac{64 - 72}{3}$

Étape 3.5.5.2

Soustrayez $72$ de $64$ .

$f (4) = \frac{- 8}{3}$

Étape 3.5.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{8}{3}$

Étape 3.5.6

La réponse finale est $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $- \frac{8}{3}$ .

$y = - \frac{8}{3}$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = - \frac{2 {(9)}^{2}}{3} + 8 (9) - 24$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (9) = - \frac{2 \cdot 81}{3} + 8 (9) - 24$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$f (9) = - \frac{162}{3} + 8 (9) - 24$

Étape 3.8.1.3

Divisez $162$ par $3$ .

$f (9) = - 1 \cdot 54 + 8 (9) - 24$

Étape 3.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$f (9) = - 54 + 8 (9) - 24$

Étape 3.8.1.5

Multipliez $8$ par $9$ .

$f (9) = - 54 + 72 - 24$

Étape 3.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.8.2.1

Additionnez $- 54$ et $72$ .

$f (9) = 18 - 24$

Étape 3.8.2.2

Soustrayez $24$ de $18$ .

$f (9) = - 6$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 9$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = - \frac{2 {(7)}^{2}}{3} + 8 (7) - 24$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = - \frac{2 \cdot 49}{3} + 8 (7) - 24$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 8 (7) - 24$

Étape 3.11.1.3

Multipliez $8$ par $7$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + 56 - 24$

Étape 3.11.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.11.2.1

Écrivez $56$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} - 24$

Étape 3.11.2.2

Multipliez $\frac{56}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24$

Étape 3.11.2.3

Multipliez $\frac{56}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} - 24$

Étape 3.11.2.4

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1}$

Étape 3.11.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.11.2.6

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = - \frac{98}{3} + \frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (7) = \frac{- 98 + 56 \cdot 3 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $56$ par $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$f (7) = \frac{- 98 + 168 - 72}{3}$

Étape 3.11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.5.1

Additionnez $- 98$ et $168$ .

$f (7) = \frac{70 - 72}{3}$

Étape 3.11.5.2

Soustrayez $72$ de $70$ .

$f (7) = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.11.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (7) = - \frac{2}{3}$

Étape 3.11.6

La réponse finale est $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 7$ est $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(6, 0)$

Foyer : $(6, - \frac{3}{8})$

Axe de symétrie : $x = 6$

Directrice : $y = \frac{3}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & - \frac{8}{3} \\ 5 & - \frac{2}{3} \\ 6 & 0 \\ 7 & - \frac{2}{3} \\ 9 & - 6 \end{array}$

Étape 5