Pré-algèbre Exemples

$x^{2} + 9 y^{2} = 25$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $25$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{9 y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{9}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = \frac{5}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}$

Étape 5.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{9}}$

Étape 5.3.5

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}$

Étape 5.3.6

Associez $25$ et $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}$

Étape 5.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}$

Étape 5.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $25$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}$

Étape 5.3.8.2

Soustrayez $25$ de $225$ .

$\sqrt{\frac{200}{9}}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{200}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $200$ comme $10^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.10.1.1

Factorisez $100$ à partir de $200$ .

$\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}$

Étape 5.3.10.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Étape 5.3.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 5.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 5, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(5, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (5), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 5, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{10 \sqrt{2}}{3}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{5}{3})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{3^{2}}}}{5}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{3^{2}}}}{5}$

Étape 8.3.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.5

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.6

Associez $25$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 9 - 25}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.8.1

Multipliez $25$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{\frac{225 - 25}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.8.2

Soustrayez $25$ de $225$ .

$\frac{\sqrt{\frac{200}{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{200}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.10.1

Réécrivez $200$ comme $10^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.10.1.1

Factorisez $100$ à partir de $200$ .

$\frac{\frac{\sqrt{100 (2)}}{\sqrt{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.10.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}}{5}$

Étape 8.3.1.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1.11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}}{5}$

Étape 8.3.1.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{10 \sqrt{2}}{3}}{5}$

Étape 8.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{10 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 8.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 8.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{10 \sqrt{2}}{3}, 0)$

Excentricité : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10